ELEMENTI DI MATEMATICA

Docenti: 
Codice dell'insegnamento: 
10187*16954*2017*2017*9999
Crediti: 
6
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere:
Al termine del corso lo studente avrà recuperato eventuali lacune e avrà consolidato le conoscenze sul programma delle scuole primarie e secondarie, così da essere in grado di seguire al meglio tutti i corsi del primo anno. Avrà inoltre appreso le prime nozioni di Algebra e di Analisi Matematica e si sarà cimentato con scritture matematicamente precise e piccole dimostrazioni.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di risolvere tutti i problemi inerenti le conoscenze matematiche di base, come insiemi, operazioni, calcolo di misure, equazioni e disequazioni in una variabile, polinomi, trigonometria, equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche. Inoltre dovrebbe saper applicare le conoscenze teoriche acquisite per utilizzare le proposizioni e il primcipio di induzione, analizzare il grafico di una funzione ed elaborare semplici dimostrazioni.

Competenze:
Alla fine del percorso di studio lo studente dovrebbe aver sviluppato la capacità di risolvere esercizi di vario tipo su tutti gli argomenti del corso, così da essere pronto per intraprendere lo studio dei corsi di Analisi Matematica 1, Geometria 1 e Algebra.

Autonomia di giudizio:
Al superamento dell’esame lo studente dovrebbe aver sviluppato la capacità di ragionamento necessaria per affrontare un problema semplice, l’abilità di impostarne la soluzione, così come la precisione nell’organizzare il proprio lavoro e la capacità di verificare l’attendibilità dei risultati ottenuti.

Capacità di apprendimento:
Al superamento dell’esame lo studente dovrebbe avere consolidato le conoscenze matematiche di base per affrontare, nel seguito, un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni che possano rendersi necessarie all’interno dei corsi successivi.

Prerequisiti

Nessuno

Contenuti dell'insegnamento

Modulo didattico 1:
INSIEMI NUMERICI

Modulo didattico 2:
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI e POLINOMI

Modulo didattico 3:
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI e TEORIA DEGLI INSIEMI

Modulo didattico 4:
FUNZIONI

Modulo didattico 5:
GEOMETRIA ANALITICA e TRIGONOMETRIA

Modulo didattico 6:
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI

Programma esteso

LOGICA DELLE PROPOSIZIONI e TEORIA DEGLI INSIEMI
Logica delle proposizioni: connettivi logici, proposizioni vere o false, negazione di una proposizione. Dimostrazioni, implicazioni e controesempi. Negazioni e dimostrazioni indirette.
Teoria degli insiemi: appartenenza, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza, insieme complementare, massimo e minimo di un insieme.
Relazioni su un insieme: relazioni d’ordine e relazioni di equivalenza. Insieme quoziente.

INSIEMI NUMERICI

Introduzione degli insiemi numerici.
Numeri naturali e interi: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione con quoziente e resto, divisori. Scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, potenze.
I numeri naturali e il principio di induzione.
Numeri razionali e reali: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, frazioni equivalenti, numeri decimali e frazioni, radice quadrata di un numero naturale, espressioni con frazioni e potenze, retta reale, semplici problemi.
Misure: di lunghezza, superficie e volume, peso e capacit\`a, equivalenze. Aree e volumi.

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI e POLINOMI
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sistemi di equazioni lineari in due o tre variabili, sistemi di disequazioni in una variabile.
Equazioni e disequazioni razionali fratte e di terzo ordine.
Polinomi: radici di un polinomio, decomposizione in fattori, divisione tra polinomi, metodo di Ruffini.

FUNZIONI
Definizione di funzione: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e funzione inversa.
Funzioni: dominio, grafico, immagine, punti di massimo e di minimo con i relativi valori, immagini e controimmagini, funzione radice quadrata, funzione radice cubica.
Operazioni sulle funzioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, rapporto, composizione.
Grafici da altri grafici: traslazioni, omotetie e simmetrie.
Semplici equazioni e disequazioni irrazionali. Potenze a esponente razionale. Funzione valore assoluto. Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto.

GEOMETRIA ANALITICA e TRIGONOMETRIA
Geometria Analitica: rette, circonferenze, parabole, ellissi, iperboli.
Trigonometria: angolo, misura di un angolo, cerchio trigonometrico, seno, coseno e tangente, risoluzione grafica di equazioni e disequazioni trigonometriche molto semplici, formule di addizione, sottrazione e duplicazione, dominio, grafico e immagine delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente, risoluzione di triangoli.

FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione grafica di semplici equazioni e disequazioni.
Logaritmi: definizione, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo con base naturale, risoluzione grafica di semplici equazioni e disequazioni.

Bibliografia

Testi consigliati:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base. Pitagora Editrice, Bologna (2003).
Ulteriore materiale didattico:
(disponibile nel materiale didattico del corso sulla piattaforma Elly di Matematica)
Esercizi con soluzione.
Compiti di anni precedenti con soluzione.

Metodi didattici

Il corso si articola in una serie di lezioni frontali alla lavagna (1/2 del corso) ed esercitazioni pratiche (1/2 del corso). Ciascuno studente individualmente dovrà svolgere degli esercizi assegnati che verranno corretti e riconsegnati.

Modalità verifica apprendimento

La prova finale del corso consiste in una prova scritta. L’esame risulta superato con una votazione finale di 18/30.

La valutazione della preparazione tiene conto dei seguenti criteri:
(10%) Domande teoriche (conoscenza)
(90%) Applicazione della teoria – Esercizi (competenza)

Le domande teoriche riguardano la logica delle proposizioni, la teoria degli insiemi, il principio di induzione e le definizioni relative alle funzioni.

Altre informazioni

Questo corso(6CFU) è obbligatorio per il corso di laurea triennale in Matematica.
Una parte di questo corso(3CFU) è obbligatoria per il corso di laurea triennale in Fisica.
Il corso si concentra nelle prime quattro settimane del primo semestre, con 12 ore di lezione settimanali.
È vivamente consigliata la frequenza al corso.