ANALISI MATEMATICA 2

Crediti: 
15
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere: Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi in più variabili, calcolo integrale in più variabili, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali ordinarie (EDO) e funzioni implicite e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi. Competenze: Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne le relazioni col materiale appreso in altri corsi. Autonomia di giudizio: Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza deille dimostrazioni prodotte durante l'esame scritto. Capacità comunicative: Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso, adatto a uno scienziato in stadio intermedio di formazione.

Prerequisiti

Analisi per funzioni di una variabile; geometria lineare; algebra lineare.

Contenuti dell'insegnamento

Norme. Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali. Curve. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Teorema del Dini e conseguenze. Integrali multipli. Successioni e serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie. Potenziali e forme differenziali.
Quasi tutti gli enunciati vengono dimostrati.

Programma esteso

Norme, distanze, spazi metrici e spazi normati.

Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali.

Curve regolari, regolari a tratti, semplici, equivalenti, cammini, versore tangente a un cammino regolare, lunghezza delle curve, parametro lunghezza d'arco, integrale di una funzione su un cammino; lavoro di un campo lungo una curva.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivate direzionali e loro interpretazione geometrica, derivate parziali, differenziale, teorema del differenziale totale, regole di differenziazione, gradiente, piano tangente e interpretazione geometrica, derivate successive, teorema di Schwarz, formula di Taylor, forme quadratiche, massimi e minimi relativi.

Teorema del Dini, teorema della funzione inversa, superfici lisce, teorema dei moltiplicatori.

Integrali multipli: definizione, teorema di riduzione, teorema di cambiamento di variabili. Integrazione in molte dimensioni. Integrazione su superfici. Successioni di funzioni. Serie di potenze: raggio di convergenza; convergenza uniforme, continuità e integrazione per serie. Serie trigonometriche con indici in Z; serie di Fourier; convergenza delle serie di Fourier; coefficienti di Fourier e regolarità.
Sistemi non lineari del primo ordine e problemi di Cauchy. Regolarità. Esistenza e unicità in piccolo. Soluzioni massimali. Soluzioni in grande. Dipendenza continua dai dati. Alcune tecniche di risoluzione. Sistemi lineari. Studio qualitative di soluzioni di equazioni differenziali.Potenziale e potenziale vettore negli aperti stellati. Forme differenziali lineari, forme esatte e forme chiuse. Cammini e circuiti. Integrale di forme differenziali su cammini orientati.

Bibliografia

Il corso segue da vicino il testo

E. Acerbi e G. Buttazzo, Secondo corso di analisi matematica. Pitagora Bologna (2016).

Può però essere utilizzato qualunque testo di Analisi 2, ad esempio

G. Prodi: Lezioni di Analisi Matematica II. ETS Pisa (1974)

W. Fleming: Functions of several variables. Second edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

Metodi didattici

L'insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali
in cui si affrontano
aspetti sia teorici che applicativi. Le esercitazioni, svolte in collaborazione con gli studenti, consentono di verificare la comprensione dell’insegnamento impartito e le competenze acquisite da parte degli studenti stessi. Le esercitazioni sono programmate in modo che gli studenti possano realizzare praticamente le soluzioni dei problemi delineati in forma teorica durante le lezioni.

Modalità verifica apprendimento

La verifica finale consiste in una prova scritta seguita da una prova orale.
Lo studente può accedere alla prova orale solo se supera la prova scritta.
Per il superamento della prova scritta lo studente dovrà rispondere a 4 domande aperte. Lo studente dovrà dimostrare abilità di calcolo e
capacità di collegamento tra le diverse conoscenze. Ad ogni domanda
verrà attribuito un punteggio che tiene conto di correttezza di esecuzione
e modalità di esecuzione.
La prova orale consiste in una discussione sullo svolgimento della prova
scritta nonché in una verifica dell'apprendimento e comprensione degli
aspetti teorici del corso.