ANALISI MATEMATICA 1

Crediti: 
15
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Fornire le nozioni base dell'Analisi Matematica

Contenuti dell'insegnamento

Definizione assiomatica dei numeri reali, razionali e irrazionali; massimo/minimo, sup/inf; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici n-esime; intervalli, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.

Successioni di numeri reali, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teoremi di permanenza del segno, del confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza. Massimo e minimo limite di successioni; teorema di Bolzano-Weierstrass; il criterio di Cauchy per successioni. Serie convergenti, divergenti, indeterminate; insiemi numerabili e più che numerabili, non numerabilità dei numeri reali; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometriche, telescopiche, armonica generalizzata.

Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni monotone, funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli. Continuità, restrizioni di funzioni continue, somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri e dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.

Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente, della composizione di funzioni e della funzione inversa; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda. Studio di funzione.

Partizioni di un intervallo; somme superiori ed inferiori, funzioni integrabili in un intervallo, integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema della media integrale; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.

Ordini di infinito e di infinitesimo. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange; sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni; sviluppo di funzioni composte e di prodotti di funzioni. Serie di Taylor.

Integrali generalizzati per intervalli limitati e illimitati; criteri di convergenza; funzioni sommabili; criterio dell'integrale per le serie numeriche.

Funzioni uniformemente continue.

Numeri complessi: operazioni, modulo, coniugato, piano complesso, forma trigonometrica ed esponenziale; potenze e radici nel campo complesso.

Ordine di un'equazione differenziale, problema di Cauchy; equazioni del primo ordine lineari e a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Programma esteso

I numeri reali

Definizione assiomatica dei numeri reali, numeri razionali e irrazionali; massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.

Successioni e serie

Successioni di numeri reali, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, successioni divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza. Serie convergenti, divergenti, indeterminate; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometriche, serie telescopiche, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni.

Funzioni continue

Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.

Calcolo differenziale

Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda. Studio di funzione.

Integrali

Partizioni di un intervallo; somme superiori ed inferiori, funzioni integrabili in un intervallo, integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema della media integrale; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.

Sviluppi asintotici

Ordini di infinito e di infinitesimo. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange; sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni; sviluppo di funzioni composte e di prodotti di funzioni. Serie di Taylor.

Integrali generalizzati

Definizioni per intervalli limitati e per intervalli illimitati; funzioni sommabili; criteri di convergenza; criterio dell'integrale per le serie numeriche.

Complementi

Massimo e minimo limite di successioni; il teorema di Bolzano-Weierstrass; il criterio di Cauchy per successioni, serie e funzioni; dimostrazione del teorema di Weierstrass; funzioni uniformemente continue; teorema di Heine-Borel; dimostrazione dell'integrabilita' delle funzioni continue. Insiemi numerabili e più che numerabili, non numerabilità dei numeri reali.

Numeri complessi

Operazioni, modulo, coniugato, piano complesso, forma trigonometrica ed esponenziale; potenze e radici nel campo complesso.

Equazioni differenziali

ùGeneralità: ordine di un'equazione differenziale, problema di Cauchy; risoluzione delle equazioni del primo ordine lineari e a variabili separabili; risoluzione delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Bibliografia

Teoria

E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi matematica ABC, Ed. Pitagora, 2000.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Ed. Zanichelli, 2008.

M. Giaquinta, L. Modica, Analisi Matematica 1, vol. 1 & 2, Ed. Pitagora, 1998.

E. Giusti, Analisi matematica vol.1, Ed. Boringhieri, 2002

Esercizi

Enrico Giusti "Esercizi e Complementi di Analisi matematica 1" Boringhieri

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, i principali risultati sulle successioni e
serie numeriche
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.

Modalità verifica apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta (o prove in itinere) e prova orale in date differenti.
Sono previste alcune prove in itinere: se risultano tutte positive, lo studente è esonerato dalla prova scritta dell'seame.
Nella prova scritta (o nelle prove in itinere), verranno assegnati alcuni esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici
visti durante il corso in alcuni casi concreti.
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico.