GEOMETRIA 1

Crediti: 
15
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

italiano

Obiettivi formativi

il corso intende fornire conoscenze tecniche di base di algebra lineare allo scopo di fornire strumenti per la risoluzione di sistemi lineari, per diagonalizzare matrici e per descrivere in modo semplice il comportamento di enti geometrci nel piano e nello spazio.
Il corso fornisce anche conoscenze di base di teoria spettrale euclidea ed hermitiana e la nozione di spazio proiettivo e di spazio affine.

Contenuti dell'insegnamento

Campo dei numeri complessi: forma trigonometrica ed esponenziale.
Calcolo vettoriale: somma di vettori moltiplicazione per un numero reale, prodotto scalare e prodotto vettoriale.
Riferimenti e coordinazione nel piano e nello spazio. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani. Parallelismo e ortogonalità. Distanze ed angoli.
Somma e prodotto fra matrici. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Binèt. Matrici invertibili. Sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli.
Spazi vettoriali e sottospazi. Basi e dimensione. Somma e somma diretta di sottospazi. Relazione di Grasmann.
Applicazioni lineari e matrci associate. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzabiltà.
Prodotto scalare euclideo. Basi ortonormali. Matrici ortogonali ed isometrie. Classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio.Teorema spettrale reale.
Triangolarizzazione di un endomorfismo.
Prodotti scalari e prodotti hermitiani. Teorema di Sylvester.
Teoria psettrale euclidea ed hermitiana: aggiunto di un endomorfismo, endomorfismi normali. Teorema spettrale complesso. Teorema di scomposizione polare di un automorfismo.
Definizione e proprietà fondamentali di coniche e quadriche. Riduzione a forma canonica.
Definizione di spazio affine e di affinità.
Definizione di spazio proiettivo. Applicazioni proiettive. Omografie.

Bibliografia

Marco Abate "GEOMETRIA" MacGraw-Hill

Metodi didattici

La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, da applicazioni e da esercizi.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta e attraverso un colloquio orale. Nella prova scritta, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base di algebra lineare e di geometria analitica.
Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di condurre autonomamente dimostrazioni relative alle tematiche del corso utilizzando un appropriato linguaggio ed un formalismo matematico corretto.