ANALISI MATEMATICA 2

Crediti: 
15
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

iTALIANO

Obiettivi formativi

Obiettivo principale del corso è fornire agli studenti gli strumenti base per la conoscenza e la comprensione di calcolo integrale in più variabili, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali ordinarie (EDO) e funzioni implicite, nonché le competenze per poter trattare e applicare tali strumenti.
L’insegnamento ha inoltre come obiettivo il raggiungimento da parte degli studenti di autonomia di giudizio, capacità comunicative e capacità di apprendimento, concordemente con quanto definito negli obiettivi specifici dell’area matematica.

Prerequisiti

Analisi matematica I e Analisi Matematica 2 1° modulo

Contenuti dell'insegnamento

Norme, distanze, spazi metrici e spazi normati.

Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili reali.

Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili: derivate direzionali e loro interpretazione geometrica, derivate parziali, differenziale, teorema del differenziale totale, regole di differenziazione, gradiente, piano tangente e interpretazione geometrica, derivate successive, teorema di Schwarz, formula di Taylor, forme quadratiche, massimi e minimi relativi.

Curve regolari, regolari a tratti, semplici, equivalenti, cammini, versore tangente a un cammino regolare, lunghezza delle curve, parametro lunghezza d'arco, integrale di una funzione su un cammino.

Teorema del Dini, teorema della funzione inversa, teorema dei moltiplicatori.

Forme differenziali lineari, integrali di forme differenziali su cammini orientati regolari a tratti, forme esatte, condizioni necessarie e sufficienti per l'esattezza, esattezza di forme definite su aperti stellati, cenni sulla semplice connessione, esattezza di forme definite su aperti semplicemente connessi.

Prime nozioni su integrali multipli: definizione, teorema di riduzione, teorema di cambiamento di variabili, formule di Gauss-Green in dimensione 2.

Programma esteso

Calcolo integrale in più variabili.
Funzioni implicite. Teorema del Dini. Invertibilità locale e globale. Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.
Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Convergenza totale. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.
Equazioni differenziali ordinarie (EDO). Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Analisi qualitativa delle soluzioni. Dipendenza continua dai dati iniziali. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni del primo ordine in forma normale. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Sistemi lineari.

Bibliografia

G. Prodi: Lezioni di Analisi Matematica II. ETS Pisa (1974);

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli (2009);

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi matematica due. Liguori (1996).

Metodi didattici

L'insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali
in cui si affrontano
aspetti sia teorici che applicativi. Le esercitazioni, svolte in
collaborazione
con gli studenti, consentono di verificare la comprensione dell'
insegnamento impartito e le competenze acquisite da parte degli
studenti stessi.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene prevalentemente attraverso una verifica finale consistente in una prova scritta seguita da una prova orale. Lo studente può accedere alla prova orale solo se supera la prova scritta. Per il superamento della verifica finale lo studente deve conseguire in ciascuna delle due prove una votazione minima di 18/30.
Per il superamento della prova scritta lo studente dovrà rispondere a 3 o 4 domande aperte dimostrando di possedere conoscenza di calcolo integrale in più variabili reali, successioni e serie di funzioni, EDO, funzioni implicite. Lo studente dovrà dimostrare abilità di calcolo e capacità di collegamento tra le diverse conoscenze. Ad ogni domanda verrà attribuito un punteggio che tiene conto di correttezza di esecuzione e modalità di esecuzione.
La prova orale consiste in una discussione sullo svolgimento della prova scritta nonché in una verifica sull’ apprendimento e comprensione degli aspetti teorici del corso.
In caso di superamento della verifica ad essa verrà attribuita una votazione corrispondente alla media delle votazioni conseguite separatamente nelle due prove scritta ed orale.