ELEMENTI DI PROBABILITA'

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA (MAT/06)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Scopo del corso è fornire le nozioni di base della teoria della probabilità e della teoria della misura.

Contenuti dell'insegnamento

1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.

2. Assiomi della probabilità

3. Probabilità condizionata e indipendenza.

4. Probabilità in uno spazio numerabile.

5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.

6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.

7. Distribuzioni di probabilità in R.

8. Distribuzioni di probabilità in R^n.

9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.

10. Somma di v.a. indipendenti.

11. v.a. gaussiane.

12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).

13. La legge dei grandi numeri.

14. Il teorema del limite centrale.

15. Speranza condizionata.

16 Martingale, sub- e supermartingale.

Programma esteso

1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.

2. Assiomi della probabilità

3. Probabilità condizionata e indipendenza.

4. Probabilità in uno spazio numerabile.

5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.

6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.

7. Distribuzioni di probabilità in R.

8. Distribuzioni di probabilità in R^n.

9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.

10. Somma di v.a. indipendenti.

11. v.a. gaussiane.

12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).

13. La legge dei grandi numeri.

14. Il teorema del limite centrale.

15. Speranza condizionata.

16 Martingale, sub- e supermartingale.

Bibliografia

J. Jacob, P. Protter: Probability essentials. Springer-Verlag, Berlino 2000.

D. Williams, Probability with martingales, Cambridge mathematical textbook, Cambridge University Press 1991.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i risultati principali della teoria della misura e della teoria della probabilità. Verranno presentati anche alcuni esempi concreti. Le esercitazioni hanno invece lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la
valutazione di una prova scritta e di una prova orale.
Nella prova scritta, verranno assegnati alcuni esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico.