MODELLI DELLA FISICA MATEMATICA

Crediti: 
6
Settore scientifico disciplinare: 
FISICA MATEMATICA (MAT/07)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire un'introduzione alla modellistica matematica mediante equazioni differenziali.

Conoscenze: il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti matematici utili per lo studio qualitativo di modelli differenziali.

Capacità di comprensione: viene curata l’acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, viene stimolata la capacità di esprimere contenuti in modo chiaro e lineare, vengono sottolineati i collegamenti tra le diverse parti del corso.

Al termine del corso, lo studente sarà in grado di applicare autonomamente gli strumenti acquisiti alla formulazione e allo studio di semplici modelli applicativi.

Contenuti dell'insegnamento

Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni stazionarie.

Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.

Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-Volterra, i modelli preda-predatore, il modello
epidemiologico.

Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.

Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.

Sistemi dinamici
discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio.

Programma esteso

Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di
stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni
stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-
Volterra, i modelli preda-predatore, il modello epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Il caos deterministico: il sistema di Lorenz.
Sistemi dinamici discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio.

Bibliografia

G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;

G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali, Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;

R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;

M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974;

J.D. MURRAY, Mathematical Biology, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1989;

J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983;

M. SQUASSINA, S. ZUCCHER, Introduzione all'analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie (ebook), APOGEO, 2008.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Modalità verifica apprendimento

Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame orale e la valutazione di un elaborato autonomo presentato dallo studente, riguardante lo studio qualitativo di un semplice modello matematico con simulazioni in ambiente Matlab.

Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze: acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere semplici esercizi, elaborazione di collegamenti tra le diverse parti del corso.